Question

已知抛物线C的顶点是坐标原点，对称轴是x轴，且点P（1，-2）在该抛物线上，A，B是该抛物线上的两个点．
（Ⅰ）求该抛物线的标准方程及焦点坐标；
（Ⅱ）若直线AB经过点M（4，0），证明：以线段AB为直径的圆恒过坐标原点；
（Ⅲ）若直线AB经过点N（0，4），且满足

BN

=4

AN

，求直线AB的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设抛物线C的标准方程为y²=2px，p＞0．由点P（1，-2）在该抛物线上，能求出该抛物线的标准方程及焦点坐标．
（Ⅱ）设原点为O，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB直线方程为y=m（x-4），代入抛物线方程得：m²•（x-4）²=4x，m²x²-（8m²+4）x+16m²=0，利用韦达定理结合题设条件能够证明以线段AB为直径的圆恒过坐标原点．
（Ⅲ）A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

BN

=4

AN

，得

BA

=3

AN

，即A为线段BN的定比分点，λ=3，由此能求出直线AB方程．

解答：解：（Ⅰ）∵抛物线C的顶点是坐标原点，对称轴是x轴，且点P（1，-2）在该抛物线上，
∴设抛物线C的标准方程为y²=2px，p＞0．
∵点P（1，-2）在该抛物线上，
∴4=2p，解得p=2，
∴该抛物线的标准方程为y²=4x，焦点坐标为F（1，0）．
（Ⅱ）设原点为O，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB直线方程为y=m（x-4），
代入抛物线方程得：m²•（x-4）²=4x，m²x²-（8m²+4）x+16m²=0，
则x₁+x₂=

8m2+4

m2

，x₁x₂=16，
y₁+y₂=m（x₁+x₂-8）=

4

m

，
y₁y₂=m²（x₁-4）（x₂-4）=-16
AB²=（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂+（y₁+y₂）²-4y₁y₂
=

(8m2+4)2

m4

-64+16-m²+64
=

80m4+64m2+16

m4

，
OA²+OB²=x12+y12+x22+y22=（x₁+x₂）²-2x₁x₂+（y₁+y₂）²-2y₁y₂
=

(8m2+4)2

m4

-32+16-m²+32=

80m4+64m2+16

m4

=AB²．
所以，以线段AB为直径的圆恒过坐标原点．
（Ⅲ）A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

BN

=4

AN

，得

BA

=3

AN

，
即A为线段BN的定比分点，λ=3，
∴x1=

x2

4

，y1=

y2+12

4

，
∵y22=4x₂，①
（

y2+12

4

）²=4x₁=x₂，②
解得x₂=4，y₂=-4，
∴B（4，-4），
∵AB过N（0，4），
∴直线AB方程：

y-4

x

=

-4-4

4

，即 2x+y-4=0．

点评：本题考查抛物线标准方程和焦点坐标的求法，考查圆恒过定点的证明，考查直线方程的求法．解题时要注意向量知识和韦达定理的合理运用．