Question

已知椭圆Γ：（a＞b＞0）过点A（0，2），离心率为，过点A的直线l与椭圆交于另一点M．
（I）求椭圆Γ的方程；
（II）是否存在直线l，使得以AM为直径的圆C，经过椭圆Γ的右焦点F且与直线 x-2y-2=0相切？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由点A（0，2）可得b值，由离心率为可得=，再由a²=b²+c²，联立方程组即可求得a，b值；
（II）假设存在直线l，使得以AM为直径的圆C，经过椭圆后的右焦点F且与直线x-2y-2=0相切，根据以AM为直径的圆C过点F可得∠AFM=90°，求出直线MF方程，联立直线MF方程与椭圆方程可得求得M坐标，利用直线与圆相切的条件d=r分情况验证圆与直线x-2y-2=0相切即可；
解答：解：（Ⅰ）依题意得，解得，
所以所求的椭圆方程为；
（Ⅱ）假设存在直线l，使得以AM为直径的圆C，经过椭圆后的右焦点F且与直线x-2y-2=0相切，
因为以AM为直径的圆C过点F，所以∠AFM=90°，即AF⊥AM，
又=-1，所以直线MF的方程为y=x-2，
由消去y，得3x²-8x=0，解得x=0或x=，
所以M（0，-2）或M（，），
（1）当M为（0，-2）时，以AM为直径的圆C为：x²+y²=4，
则圆心C到直线x-2y-2=0的距离为d==≠，
所以圆C与直线x-2y-2=0不相切；
（2）当M为（，）时，以AM为直径的圆心C为（），半径为r===，
所以圆心C到直线x-2y-2=0的距离为d==r，
所以圆心C与直线x-2y-2=0相切，此时k_AF=，所以直线l的方程为y=-+2，即x+2y-4=0，
综上所述，存在满足条件的直线l，其方程为x+2y-4=0．
点评：本题考直线与圆锥曲线的关系、椭圆方程的求解，考查直线与圆的位置关系，考查分类讨论思想，解决探究型问题，往往先假设存在，由此推理，若符合题意，则存在，否则不存在．