Question

(12分)集合A是由具备下列性质的函数f(x)组成的：

①函数f(x)的定义域是[0，＋∞)；

②函数f(x)的值域是[－2,4)；

③函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，试分别探究下列两小题：

(1)判断函数f₁(x)＝－2(x≥0)及f₂(x)＝4－6·^x(x≥0)是否属于集合A？并简要说明理由；

(2)对于(1)中你认为属于集合A的函数f(x)，不等式f(x)＋f(x＋2)<2f(x＋1)是否对于任意的x≥0恒成立？若不成立，为什么？若成立，请说明你的结论．

 

Answer 1

【答案】

解：(1)函数f₁(x)＝－2不属于集合A.因为f₁(x)的值域是[－2，＋∞)，所以函数f₁(x)＝－2不属于集合A.f₂(x)＝4－6·^x(x≥0)在集合A中，因为：①函数

 

f₂(x)的定义域是[0，＋∞)；②f₂(x)的值域是[－2,4)；③函数f₂(x)在[0，＋∞)上是增函数．

(2)∵f(x)＋f(x＋2)－2f(x＋1)＝6·^x<0，

 

∴不等式f(x)＋f(x＋2)<2f(x＋1)对任意的x≥0恒成立．

【解析】略