Question

设a为实数，函数f（x）=e^x-2x+2a，x∈R。
（1）求f（x）的单调区间与极值；
（2）求证：当a>ln2-1且x>0时，e^x>x²-2ax+1。

Answer 1

解：（1）由f（x）=e^x-2x+2a，x∈R知f'（x）=e^x-2，x∈R
令f'（x）=0，得x=ln2
于是，当x变化时，f'（x）和f（x）的变化情况如下表：
 
故f（x）的单调递减区间是（-∞，ln2），单调递增区间是（ln2，+∞）
f（x）在x=ln2处取得极小值
极小值为f（ln2）=2-2ln2+2a。
（2）证明：设g（x）=e^x-x²+20ax-1，x∈R，
于是g'（x）=e^x-2x+2a．x∈R
由（1）知当a>ln2-1时，g'（x）取最小值为g'（ln2）= 2（1-ln2+a）>0
于是对任意x∈R，都有g'（x）>0，
所以g（x）在R内单调递增，
于是，当a>ln2-1时，对任意x∈（0，+∞），都有g（x）>g（0），而g（0）=0
从而对任意x∈（0，+∞），都有g（x）>0
即e^x-x²+2ax-1>0，故e^x>x²-2ax+1。