Question

已知两椭圆ax²+y²=8与9x²+25y²=100的焦距相等，则a=

 

．

Answer 1

分析：先将椭圆C₁：9x²+25y²=100化成标准方程，得到它的半焦距c，焦距为2c．再将椭圆C₂：ax²+y²=8化成标准方程，结合两个椭圆的焦距相等，最后分焦点在x轴和y轴两种情况加以讨论，列出将于a的方程，再解之即可求出参数a的值．

解答：解：将椭圆C₁：9x²+25y²=100化成标准方程：

x2

100 9

+

y2

4

=1，
所以椭圆C₁的半焦距为c=

100 9 -4

=

8

3

，焦距为2c=

16

3

再将椭圆C₂：ax²+y²=8化成标准方程：

x2

8 a

+

y2

8

=1，
两个椭圆的焦距相等，所以椭圆C₂的半焦距也是

8

3

，
分两种情况讨论：
（1）当焦点在x轴上时，c=

8 a -8

=

8

3

，解之得a=

9

17

；
（2）当焦点在y轴上时，c=

8- 8 a

=

8

3

，解之得a=9
综上所述，得a的值为9或

9

17

．
故答案为：9或

9

17

．

点评：本题在两个椭圆的焦距相等的情况下，求参数a的值，着重考查了椭圆的标准方程和椭圆的简单几何性质，属于基础题．