Question

（1）已知函数y=f（x）在区间D上是奇函数，函数y=g（x）在区间D上是偶函数，求证：G（x）=f（x）•g（x）是奇函数；
（2）已知分段函数f（x）是奇函数，当x∈[0，+∞）时的解析式为y=x²，求这个函数在区间（-∞，0）上的解析表达式．

Answer 1

【答案】分析：（1）由f（x），g（x）的奇偶性可得，f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x），再根据奇偶性的定义即可证明G（x）为奇函数；
（2）设x∈（-∞，0），则-x∈（0，+∞），由已知表达式可求得f（-x），根据奇函数性质可得f（-x）=-f（x），从而可求得f（x）．
解答：（1）证明：因为y=f（x）是奇函数，y=g（x）是偶函数，
所以f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x），
则G（-x）=f（-x）•g（-x）=-f（x）•g（x）=-G（x），
所以G（x）是奇函数；
（2）解：设x∈（-∞，0），则-x∈（0，+∞），
则f（-x）=（-x）²=x²，
又f（x）为奇函数，所以f（-x）=-f（x），
所以f（x）=-f（-x）=-x²，
故f（x）=-x²，x∈（-∞，0）．
点评：本题考查函数奇偶性的判断及其应用，属基础题，定义是解决该类问题的基础．