Question

甲、乙两人定点投篮3次，记投篮投中的次数为ξ；乙投篮2次，记投篮投中的次数为η．甲、乙两人每次投篮命中的概率甲投都是：

1

2

，
（1）求Eξ和Dξ；
（2）规定：若ξ＞η，则甲获胜；若ξ＜η，则乙获胜，分别求出甲、乙获胜的概率．

Answer 1

分析：（1）甲投篮符合独立重复试验，故投篮投中的次数为ξ服从二项分布，由二项分布知识直接求Eξ和Dξ即可；
（2）甲获胜有以下情况：ζ=1，η=0；ζ=2，η=0，1；ζ=3，η=0，1，2．每种情况互斥，分别求概率再求和即可．
乙获胜有以下情况：η=1，ζ=0；η=2，ζ=0，1．每种情况互斥，分别求概率再求和即可．

解答：解：（1）依题ξ～B(3，

1

2

)，∴Eξ=3×

1

2

=

3

2

，Dξ=3×

1

2

×

1

2

=

3

4

．
（2）P（ξ=0）=C₃⁰•（

1

2

）³=

1

8

，
P（ξ=1）=C₃¹•（

1

2

）³=

3

8

，
P（ξ=2）=C₃²•（

1

2

）³=

3

8

，
P（ξ=3）=C₃³•（

1

2

）³=

1

8

，
P（η=0）=C₂⁰•（

1

2

）²=

1

4

，
P（η=1）=C₂¹•（

1

2

）²=

1

2

，
P（η=2）=C₂²•（

1

2

）²=

1

4

甲获胜有以下情况：ζ=1，η=0，ζ=2，η=0，1；ζ=3，η=0，1，2．
则甲获胜的概率为：
P₁=

3

8

×

1

4

+（

1

4

+

1

2

）+

1

8

×（

1

4

+

1

2

+

1

4

）=

1

2

乙获胜有以下情况：η=1，ζ=0；η=2，ζ=0，1．
则乙获胜的概率为：
P₂=

1

2

×

1

8

+

1

4

×（

1

8

+

3

8

）=

3

16

点评：本题考查独立重复试验的概率、二项分布等知识，考查利用所学知识分析问题、解决问题的能力．