Question

给出下列命题
①已知

.

a

⊥

.

b

，则

.

a

•（

.

b

+

.

c

）+

.

c

•（

.

b

-

.

a

）=

.

b

•

.

c

；
②A、B、M、N为空间四点，若

BA

，

BM

，

BN

不构成空间的一个基底，则A、B、M、N共面；
③已知

.

a

⊥

.

b

，则

a

，

b

与任何向量不构成空间的一个基底；
④已知{

.

a

，

.

b

，

.

c

}是空间的一个基底，则基向量

a

，

b

可以与向量

.

m

=

.

a

+

.

c

构成空间另一个基底．其中所有正确命题的序号为

 

．

Answer 1

考点：空间向量的基本定理及其意义

专题：空间向量及应用

分析：由数量积运算和空间向量基本定理即可判断出．

解答： 解：①∵

.

a

⊥

.

b

，

a

•

b

=0，
∴

.

a

•（

.

b

+

.

c

）+

.

c

•（

.

b

-

.

a

）=

a

•

b

+

a

•

c

+

c

•

b

-

c

•

a

=

.

b

•

.

c

，因此正确；
②A、B、M、N为空间四点，若

BA

，

BM

，

BN

不构成空间的一个基底，由空间共面向量定理可知：则

BA

，

BM

，

BN

必然共面，因此A、B、M、N共面，正确；
③由

.

a

⊥

.

b

，则

a

，

b

与二者都垂直的向量可以构成空间的一个基底，因此不正确；
④由{

.

a

，

.

b

，

.

c

}是空间的一个基底，则基向量

a

，

b

可以与向量

.

m

=

.

a

+

.

c

构成空间另一个基底，正确．
综上可知：只有①②④正确．
故答案为：①②④．

点评：本题考查了数量积运算和空间向量基本定理等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力，属于难题．