Question

已知y=f（x）是以π为周期的奇函数，且x∈[-

π

2

，0]时，f（x）sin2x，则f（

13π

6

）=

3

2

．

Answer 1

分析：当x∈[0，

π

2

]时，得到-x∈[-

π

2

，0]，把-x代入由x∈[-

π

2

，0]时f（x）的解析式，根据f（x）和正弦函数都为奇函数，化简可得x∈[0，

π

2

]时函数f（x）的解析式，然后把

13π

6

变形为π+

π

6

，根据f（x）的周期为π化简，又根据

π

6

∈[0，

π

2

]，代入x∈[0，

π

2

]时的解析式，约分后，利用特殊角的三角函数值即可求出值．

解答：解：根据x∈[-

π

2

，0]时，f（x）=sin2x，
可得x∈[0，

π

2

]时，-x∈[-

π

2

，0]，
所以f（-x）=sin（-2x）=-sin2x，又y=f（x）为奇函数，得到f（-x）=-f（x），
所以x∈[0，

π

2

]时，f（x）=sin2x，又y=f（x）是以π为周期的函数，
∴f（

13π

6

）=f（π+

π

6

）=f（

π

6

）=sin（2×

π

6

）=sin

π

3

=

3

2

．
故答案为：

3

2

点评：此题考查了三角函数的周期性及奇偶性，以及正弦函数的奇偶性，由x∈[-

π

2

，0]时f（x）的解析式确定出x∈[0，

π

2

]时函数f（x）的解析式及由函数的周期为π化简所求的式子是解本题的关键．