Question

椭圆

x2

3

+

y2

2

=1内有一点P（1，1），一直线过点P与椭圆相交于P₁、P₂两点，弦P₁P₂被点P平分，求直线P₁P₂的方程．

Answer 1

分析：因为点P（1，1）在椭圆内，且弦P₁P₂被点P平分，所以可用“点差法”求相交弦所在直线方程，方法是将P₁，P₂两点坐标代入椭圆方程，作差后将中点坐标代入即可得弦P₁P₂的斜率，最后由点斜式写出直线方程．

解答：解：设P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），则

x12

3

+

y12

2

=1，

x22

3

+

y22

2

=1
两式相减得

(x1+x2)(x1-x2)

3

+

(y1+y2)(y1-y2)

2

=0
∵弦P₁P₂被点P平分，∴x₁+x₂=2，y₁+y₂=2
代入上式得

y1-y2

x1-x2

=-

2

3

，即直线P₁P₂的斜率为

2

3

∴直线P₁P₂的方程为 y-1=

2

3

（x-1），即2x+3y-5=0．

点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，解决直线与椭圆相交且已知相交弦中点坐标时，可采用“点差法”．