Question

如图，已知椭圆的上顶点为A，右焦点为F，直线AF与圆M：x²+y²-6x-2y+7=0相切．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若不过点A的动直线l与椭圆C相交于P、Q两点，且，求证：直线l过定点，并求出该定点N的坐标．

Answer 1

解：（Ⅰ）将圆M的一般方程x²+y²-6x-2y+7=0化为标准方程（x-3）²+（y-1）²=3，
圆M的圆心为M（3，1），半径．（1分）
由A（0，1），
得直线，即x+cy-c=0，（2分）
由直线AF与圆M相切，得，或（舍去）．（4分）
当时，a²=c²+1=3，故椭圆C的方程为．（5分）

（Ⅱ）由，知AP⊥AQ，从而直线AP与坐标轴不垂直，（6分）
由A（0，1）可设直线AP的方程为y=kx+1，直线AQ的方程为（7分）
将y=kx+1代入椭圆C的方程并整理得：（1+3k²）x²+6kx=0，
解得x=0或，因此P的坐标为，
即-（9分）
将上式中的k换成，得Q．-（10分）
直线l的方程为
（11分）
化简得直线l的方程为，（13分）
因此直线l过定点（14分）
分析：（Ⅰ）由题设知圆心M（3，1），半径．由A（0，1），得直线，由直线AF与圆M相切，得，由此能求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）由，知AP⊥AQ，从而直线AP与坐标轴不垂直，由A（0，1）可设直线AP的方程为y=kx+1，直线AQ的方程为．将y=kx+1代入椭圆C的方程并整理得：（1+3k²）x²+6kx=0，解得x=0或，因此P的坐标为，由此能证明直线l过定点，并能求出该定点N的坐标．
点评：本题考查圆锥曲线和直线的位置关系，解题时要认真审题，注意公式的灵活运用．