Question

设f（x）=ax²+2（b+1）x，g（x）=2x-c，其中a＞b＞c，且a+b+c=0
（1）求证：

1

3

＜

a

a-c

＜

2

3

；
（2）求证：函数f（x）与g（x）的图象有两个不同的交点
（3）设f（x）与g（x）图象的两个不同交点为A、B，求证：

15

＜|AB|＜2

15

．

Answer 1

分析：（1）由a＞b＞c，a+b+c=0可知a＞0，c＜0，b=-a-c，由a＞b＞c得

2a＞-c 2c＜-a

，从而可求
（2）要证函数f（x）与g（x）的图象有两个不同的交点，只要证ax²+2bx+c=0 有2个根，只要证明△=4b²-4ac＞0即可
（3）由|AB|=

(1+k2)

|xA-xB|=

(1+k2)[(xA+xB)2-4xAxB

，结合-2＜

c

a

＜-

1

2

从而得证

解答：证明：（1）由a＞b＞c，a+b+c=0可知a＞0，c＜0，b=-a-c
由a＞b得

2a＞-c 2c＜-a

   即

3a＞a-c 2(a-c)＞3a

∴

a

a-c

＞

1

3

，且

a

a-c

＜

2

3

 …（4分）
（2）由f（x）=g（x） 得ax²+2bx+c=0 
∵△=4b²-4ac=4[（a+c）²-ac]=4[(a+

c

2

)2+

3c2

4

]＞0
故有两个不同交点                                   …（8分）
（3）∵|AB|=

(1+k2)

|xA-xB|
=

(1+k2)[(xA+xB)2-4xAxB

=

2 5

a

b2-ac

=2

5

•

( a-c a )2- 3c a

=2

5

( c a )2+ c a +1

=2

5

( c a + 1 2 )2+ 3 4

又  -2＜

c

a

＜-

1

2

从而得证

15

＜|AB|＜2

15

                  …（12分）

点评：本题主要考查了二次函数与二次方程的基本关系的应用，二次方程的根的个数的判断，直线与曲线相交弦长公式的应用．