Question

设函数f(x)=

1

x-1

-1．
（Ⅰ） 求函数f（x）的定义域和值域；
（Ⅱ） 证明函数f（x）在（1，+∞）上为减函数．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求f（x）的定义域可令分母x-1≠0求解；根据函数的定义域即可求得函数的值域；
（Ⅱ）要用函数的单调性的定义来证明函数是一个减函数，首先取两个具有大小关系的变量，利用这两个自变量的函数值相减，把最后结果整理成因式乘积的形式，判断差和0的关系．

解答：解：（Ⅰ）令分母x-1≠0解得x≠1，故定义域为{x|x≠1}
∵f(x)=

1

x-1

-1，由于x-1≠0，
故

1

x -1

≠0
故

1

x -1

-1≠-1，
∴f(x)=

1

x-1

-1的值域是（-∞，-1）∪（-1，+∞）；
（Ⅱ）证明：在（1，+∞）上任取两个值x₁，x₂且x₁＜x₂
f（x₁）-f（x₂）=（

1

x1-1

-1）-（

1

x2-1

-1）
=

x2-x1

(x1-1)(x2-1)

∵1＜x₁＜x₂
∴x₂-x₁＞0，x₁-1＞0，x₂-1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0即f（x₁）＞f（x₂）
∴函数f（x）在（1，+∞）上是减函数．

点评：本题考查函数单调性的证明以及函数的定义域与值域的求法，求解此类题的关键是对函数性质的证明方法了然于胸，熟知其各种判断证明方法，同时考查运算能力，属中档题．