Question

已知函数．
（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）证明函数f（x）为奇函数；
（Ⅲ）判断并证明函数的单调性．

Answer 1

【答案】分析：（I）根据使函数解析式有意义的原则，构造关于x的不等式，解不等式即可得到函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）由（I）中结论，可以得到函数的定义域关于原点对称，进而判断f（x）与f（-x）的关系，即可得到函数的奇偶性；
（III）任取x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，构造两个函数值的差，根据对数的运算性质，判断差的符号，结合函数单调性的定义，即可得到答案．
解答：解：（Ⅰ）由，可得
可得-1＜x＜1．
即函数f（x）的定义域为（-1，1）．              …（4分）
（Ⅱ）由，
所以函数f（x）为奇函数．                   …（8分）
（Ⅲ）任取x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，则
=
=，
由x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，
可知0＜1+x₁-x₂+x₁x₂＜1-x₁+x₂+x₁x₂，
所以，
可得，
即f（x₁）＜f（x₂），
所以函数f（x）在（-1，1）为增函数．                …（12分）
点评：本题考查的知识点是函数的单调性的判断与证明，函数的奇偶性的判断，对数函数的定义域，其中熟练掌握函数单调性，奇偶性的定义，即可得到答案．