Question

已知圆C：

x=2cosθ-1 y=2sinθ+2

（θ为参数，θ∈R）．O为坐标原点，动点P在圆C外，过P作圆C的切线l，设切点为M．
（1）若点P运动到（1，3）处，求此时切线l的方程；
（2）求满足条件|PM|=|PO|的点P的轨迹方程．

Answer 1

分析：（1）通过把已知圆C的方程化为标准方程，求出圆心和半径，分存在斜率和不存在斜率的情况讨论求出切线l的方程
（2）设P的坐标为（x，y），然后用P的坐标分别表示出|PM|与|PO|，最后根据|PM|=|PO|的关系求出P的轨迹方程．

解答：解：把圆C的方程化为标准方程为（x+1）²+（y-2）²=4，
∴圆心为（-1，2），半径为2
（1）①当l的斜率不存在时：
此时l的方程为x=1，满足条件
②当l的斜率存在时：
设斜率为k，得l的方程为y-3=k（x-1），
即kx-y+3-k=0，
∵

|-k-2+3-k|

1+k2

=2，
解得k=-

3

4

．
∴l的方程为3x+4y-15=0．
综上，满足条件的切线l的方程为x=1或3x+4y-15=0
（2）设P（x，y），
∵|PM|²=|PC|²-|MC|²=（x+1）²+（y-2）²-4，
而|PO|²=x²+y²，
∴由|PM|=|PO|有（x+1）²+（y-2）²-4=x²+y²，
整理得2x-4y+1=0，
即点P的轨迹方程为2x-4y+1=0

点评：本题考查直线与圆的位置关系以及向量的长度相等问题．其中直线方程考查有无斜率的情况．本题属于难题