Question

已知函数y=lg（x²+2x+a）
（1）若函数定义域为R，求a的取值范围；
（2）若函数的值域为[0，+∞），求a的取值范围；
（3）若函数的值域为R，求a的取值范围．

Answer 1

解：（1）当函数定义域为R时，x²+2x+a＞0恒成立，
所以有△=4-4a＜0，解得a＞1，
所以a的取值范围为（1，+∞）；
（2）当函数的值域为[0，+∞），即y=lg（x²+2x+a）≥0时，x²+2x+a=（x+1）²+a-1的最小值为1，
所以有a-1=1，解得a=2，
所以a的取值范围为{a|a=2}；
（3）当函数的值域为R时，x²+2x+a的值域包括一切正实数，
所以有△=4-4a≥0，解得a≤1．
所以a的取值范围为（-∞，1]．
分析：（1）当函数定义域为R时，x²+2x+a＞0恒成立，由恒成立问题处理方法即可解决；
（2）当函数的值域为[0，+∞）时，相当于给出了函数的最小值，由此可求a值范围；
（3）当函数的值域为R时，说明x²+2x+a的值域包括一切正实数，由此可得一不等式，从而可求a的取值范围；
点评：该题目非常典型，一题三问便于比较区分，准确理解题意并对问题进行合理转化是解决本题的关键．