Question

有A、B两个口袋，A袋中有6张卡片，其中1张写0，2张写1，3张写有2；B袋中7张卡片，其中4张写有0，1张写有1，2张写有2，从A袋中取1张卡片，B袋中取2张卡片，共3张卡片，求：（1）取出的3张卡片都写0的概率；（2）取出的3张卡片数字之积是4的概率；
（3）取出的3张卡片数字之积的数字期望．

Answer 1

分析：（1）由题意知本题是一个古典概型，试验发生时包含的所有事件是从A袋中任意取1张卡片，B袋中任意取2张卡片共取3张卡片共有C₆¹C₇²种取法．而满足条件事件表示的事件是A袋中任意取1张卡片是0，B袋中任意取2张卡都是0共有C₁¹C₄²种取法，
（2）由题意知本题是一个古典概型，试验发生时包含的所有事件是从A袋中任意取1张卡片，B袋中任意取2张卡片共取3张卡片共有C₆¹C₇²种取法，而取出的3张卡片数字之积是4包括A袋中取得1，B袋中取得两个2；A袋里取得一个2，B袋中取得一个2一个1，共有C₂¹C₂²+C₃¹C₁¹C₂¹种方法．
（3）ξ的可能取值为0，2，4，8，可先求ξ为2，4，8使得概率，ξ=0的概率用分布列的性质求解．

解答：（1）解：（I）由题意知本题是一个古典概型，
记“取出的3张卡片都标有数字0”为事件A．
∵试验发生时包含的所有事件是从A袋中任意取1张卡片，B袋中任意取2张卡片共取3张卡片共有C₆¹C₇²种取法．
而A事件表示的事件是A袋中任意取1张卡片是0，B袋中任意取2张卡都是0共有C₁¹C₄²种取法，
∴P(A)=

C 1 1 • C 4 2

C 6 1 • C 7 2

=

1

21

；
（2）（Ⅱ）由题意知本题是一个古典概型，
记“取出的3张卡片数字之积是4”为事件B．
∵试验发生时包含的所有事件是从A袋中任意取1张卡片，B袋中任意取2张卡片共取3张卡片共有C₆¹C₇²种取法．
而取出的3张卡片数字之积是4包括A袋中取得1，B袋中取得两个2；
A袋里取得一个2，B袋中取得一个2一个1，共有C₂¹C₂²+C₃¹C₁¹C₂¹种方法，
∴P(B)=

C 1 2 • C 2 2 + C 1 3 • C 1 1 • C 1 2

C 1 6 • C 2 7

=

4

63

；
（3）ξ的可能取值为0，2，4，8
P(ξ=0)=1-

C 1 5 • C 2 3

C 1 6 • C 2 7

=1-

15

6×21

=

37

42

，
P(ξ=2)=

C 1 2 • C 1 2 • C 1 1

C 1 6 • C 2 7

=

2

63

；
P(ξ=8)=

C 1 3 • C 2 2

C 1 6 • C 2 7

=

1

42

；
ξ的概率分布列为：

ξ	0	2	4	8
P	37 42	2 63	4 63	1 42

Eξ=

32

63

．

点评：高中必修中学习了几何概型和古典概型两种概率问题，解题时，先要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数，同时考查抽象概括能力和运用所学知识分析问题解决问题的能力，属中档题．