Question

1．以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两坐标系中取相同的长度．已知曲线C₁的极坐标方程为ρ=2cosθ，将曲线C₁向左平移一个单位，再将其横坐标伸长到原来的2倍得到曲线C₂．
（1）求曲线C₂的直角坐标方程；
（2）过点P（1，2）的直线与曲线C₂交于A、B两点，求|PA||PB|的最小值．

Answer 1

分析 （1）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x²+y²=ρ²，化曲线C₁的方程为x²+y²=2x，再由图象平移的规律可得曲线C₂：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（2）设直线AB为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=2+tsinα}\end{array}\right.$（t为参数），代入椭圆方程，运用韦达定理，结合正弦函数的值域，即可得到最小值，注意检验．

解答 解：（1）曲线C₁的极坐标方程为ρ=2cosθ，
由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x²+y²=ρ²，
可得曲线C₁的方程为x²+y²=2x，即为（x-1）²+y²=1，
曲线C₁向左平移一个单位，可得x²+y²=1，
再将其横坐标伸长到原来的2倍得到曲线C₂：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（2）过点P（1，2）的直线方程设为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=2+tsinα}\end{array}\right.$（t为参数），
代入椭圆方程可得（cos²α+4sin²α）t²+（2cosα+16sinα）t+13=0，①
可得|PA|•|PB|=t₁t₂=$\frac{13}{co{s}^{2}α+4si{n}^{2}α}$=$\frac{13}{1+3si{n}^{2}α}$，
当sinα=1，即cosα=0时，方程①即为4t²+16t+13=0，△=256-16×13＞0成立，
故|PA|•|PB|的最小值为$\frac{13}{4}$．

点评 本题考查极坐标方程和直角坐标方程的互化，考查直线的参数方程的运用，以及韦达定理和正弦函数的最值的运用，属于中档题．