Question

设函数

（I）求函数的单调区间；

（II）若不等式（）在上恒成立，求的最大值.

 

Answer 1

【答案】

（1）函数的增区间为，减区间为；（2）的最大值为3.

【解析】

试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值与最值、恒成立问题等数学知识，考查综合分析问题解决问题的能力和计算能力，考查函数思想和分类讨论思想.第一问，首先求函数的定义域，利用为增函数，为减函数，通过求导，解不等式求出单调区间，注意单调区间必须在定义域内；第二问，因为不等式恒成立，所以转化表达式，此时就转化成了求函数的最小值问题；法二，将恒成立问题转化为，即转化为求函数的最小值，通过分类讨论思想求函数的最小值，只需最小值大于0即可.

试题解析：（I）函数的定义域为.

由，得；由，得

所以函数的增区间为，减区间为. 4分

（II）（解法一）由已知在上恒成立.

则,令

则，设

则，所以函数在单调递增. 6分

而

由零点存在定理，存在，使得，即，

又函数在单调递增，

所以当时，；当时，.

从而当时，；当时，

所以在上的最小值

因此在上恒成立等价于 10分

由，知,所以的最大值为3. 12分

解法二：由题意

在上恒成立，

设

6分

1.当时，则，∴单增，，即恒成立. 8分

2.当时，则在单减，单增，

∴最小值为，只需即可，即， 10分

设

，单减，

则，，，

∴. 12分

考点：1.利用导数研究函数的单调性；2.利用导数求函数的最值；3.恒成立问题.