Question

已知抛物线C的顶点为O(0,0),焦点F(0,1).

(1)求抛物线C的方程.

(2)过F作直线交抛物线C于A,B两点.若直线AO,BO分别交直线l:y=x-2于M,N两点,求|MN|的最小值.

Answer 1

【解题提示】(1)知道抛物线的焦点易求抛物线的方程;(2)可以先设出A,B两点的坐标(设而不求),设出直线的方程,由已知条件把|MN|表示出来,进行求解.

【解析】(1)由题意可设抛物线C的方程为x²=2py(p>0),则=1,p=2,

所以抛物线C的方程为x²=4y.

(2)设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),

直线AB的方程为:y=kx+1,

由消去y,整理得x²-4kx-4=0,

所以x₁+x₂=4k,x₁x₂=-4,

从而|x₁-x₂|=4,

由解得点M的横坐标x_M===,

同理点N的横坐标x_N=,

所以|MN|=|x_M-x_N|

=

=8

=.

令4k-3=t,t≠0,则k=,

当t>0时,|MN|=2>2,

当t<0时,|MN|=2≥,

综上所述,当t=-,即k=-时,|MN|的最小值是.