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(本小题满分9分)平行四边形ABCD中,AB=2,AD=,且,以BD为折线,把折起,使平面,连AC.

(Ⅰ)求证:       (Ⅱ)求二面角B-AC-D平面角的大小;

(Ⅲ)求四面体ABCD外接球的体积.

 

【答案】

(1)见解析;(2)二面角B-AC-D的大小是;(3) .

【解析】(I)通过证明即可.

(II)由于本题容易建系所以可以通过向量法求解二面角,先求出二面角二个面的法向量,然后根据法向量的夹角与二面角相等或互补求二面角.

(III)解本小题的关键是确定球心位置在AD的中点.

解:在中,

,     易得

                  …3分

在四面体ABCD中,以D为原点,DB为轴,DC为轴,过D垂直于平面BDC的射线为轴,建立如图空间直角坐标系.

z

 

则D(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),A(2,0,2)

(2)设平面ABC的法向量为,而

得:,取 .

再设平面DAC的法向量为,而

得:,取

所以,所以二面角B-AC-D的大小是      …7分

(3)由于均为直角三角形,故四面体ABCD的外接球球心在AD中点,

,所以球半径,得 .     …9分

 

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