Question

已知过函数f （x）=x²+bx上的点A（1，f（1））的切线为3x-y-1=0，数列{

1

f(n)

}的前n项和为S_n（n∈N），则

lim

n→

∞

1

Sn•f(n)

=（　　）

• A、1
• B、

  1

  3

• C、0
• D、不存在

Answer 1

分析：由过函数f （x）=x²+bx上的点A（1，f（1））的切线为3x-y-1=0可得f（x）=x²+x，可得

1

f(n)

=

1

n2+n

=

1

n

-

1

n+1

所以Sn=

n

n+1

，

1

Sn•f(n)

=

1

n2

所以

lim

n→

∞

1

Sn•f(n)

=

lim

n→

∞

1

n2

=0．

解答：解：由题意可得
点A（1，f（1））在切线为3x-y-1=0上
∴点A的坐标为（1，2）
又∵点A在函数f （x）=x²+bx上
∴b=1
∴f（x）=x²+x
∴

1

f(n)

=

1

n2+n

=

1

n

-

1

n+1

∴Sn=

1

f(1)

+

1

f(2)

+… +

1

f(n)

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=

n

n+1

1

Sn•f(n)

=

1

n n+1 •(n2+n)

=

1

n2

lim

n→

∞

1

Sn•f(n)

=

lim

n→

∞ 

1

n2

=0
故选C．

点评：本题考查以函数在某点的切线为载体求得函数解析式，利用数列的裂项相消的方法求出数列的和，再求出其极限，是一道函数与数列相结合的综合题，是高考考查的重点．