Question

 （08年扬州中学） 已知P是椭圆C：上异于长轴端点的任意一点，A为长轴的左端点，F为椭圆的右焦点，椭圆的右准线与x轴、直线AP分别交于点K、M，．

（Ⅰ）若椭圆的焦距为6，求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若，求证：．

Answer 1

解析:（Ⅰ）解一：由得，，，………………………2分

∴  ，…………………………………………………………………4分

从而椭圆方程是．…………………………………………………………6分

解二：记，由，

得，

∵，∴    ，………………………………………………………2分

又，，∴  ，…………………………………………4分

从而椭圆方程是． ………………………………………………………6分

（Ⅱ）解一：点同时满足

和

消去并整理得：，……………………………8分

此方程必有两实根，一根是点的模坐标，另一根是点的模坐标，

，，…………………………………………10分

∴  ，

∴  ，…………………………12分

由代入上式可得．

∴  ．．          ………………………………………………14分

解二：由（Ⅰ），，可设，，则，

椭圆方程可为，即，…………………………8分

设直线AM的方程为（存在且），

代入，

整理得，…………………………10分

此方程两根为A、P两点的横坐标，

由韦达定理，

∴  ，从而．

由于=，，       …………………………12分

 

∴  ．．        ………………………………………………14分