Question

在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB的垂直平分线分别交AB，AC于D，E(图甲)，沿DE将△ADE折起，使得平面ADE⊥平面BDEC(图乙)。
(Ⅰ)若F是AB的中点，求证：CF∥平面ADE；
(Ⅱ)P是AC上任意一点，求证：平面ACD⊥平面PBE；
(Ⅲ)P是AC上一点，且AC⊥平面PBE，求二面角P-BE-C的大小．

Answer 1

(Ⅰ)证明：取BD的中点为M，连接FM，CM， ∵F为AB的中点，则MF∥AD， 由题知△BCD为等边三角形， ∴CM⊥BD， 又DE⊥BD， ∴CM∥DE， ∴面CFM∥面ADE，CF面CMF， ∴CF∥面ADE。 (Ⅱ)证明：由平面几何知识：BE⊥CD，AD⊥DE，平面ADE⊥平面BDEC，  ∴AD⊥平面BDEC， ∴AD⊥BE， ∴BE⊥面ACD，BE面PBE， ∴平面ACD⊥平面PBE。 (Ⅲ)解法一：由(Ⅱ)BE⊥面ACD，设BE∩CD=Q， 由题知BE⊥CD，BE⊥PQ， ∴PQC为二面角P-BE-C的平面角， AD=CD， ∴∠ACD=45°， ∴△ACD∽△CPQ，∠PQC=45°， ∴二面角P-BE-C的大小为45°。 解法二：建立空间直角坐标系{DE，DB，DA}， ，则， ， ∵AC⊥面PBE，AD⊥面BCED， 设二面角P-BE-C的大小为θ， 则， ∴二面角P-BE-C的大小为45°。