Question

1．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，a=c且满足cosC+（cosA-$\sqrt{3}$sinA）cosB=0，则△ABC是（　　）

• A． 钝角三角形
• B． 等边三角形
• C． 直角三角形
• D． 不能确定

Answer 1

分析 利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sinAsinB=$\sqrt{3}$sinAcosB，由sinA≠0，可解得tanB=$\sqrt{3}$，结合范围B∈（0，π），可求B=$\frac{π}{3}$，由a=c及三角形内角和定理可得A=B=C=$\frac{π}{3}$，从而得解．

解答 解：∵cosC+（cosA-$\sqrt{3}$sinA）cosB=0，
⇒-cos（A+B）+cosAcosB-$\sqrt{3}$sinAcosB=0，
⇒-cosAcosB+sinAsinB+cosAcosB=$\sqrt{3}$sinAcosB，
⇒sinAsinB=$\sqrt{3}$sinAcosB，（sinA≠0）
⇒sinB=$\sqrt{3}$cosB，
⇒tanB=$\sqrt{3}$，
又∵B∈（0，π），
∴解得：B=$\frac{π}{3}$．
又∵a=c，即A=C，且A+B+C=π，
∴解得：A=B=C=$\frac{π}{3}$．三角形是等边三角形．
故选：B．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了三角形内角和定理的应用，三角形形状的判定，属于基本知识的考查．