Question

11．已知α∈（0，$\frac{π}{2}$），β∈（0，$\frac{π}{2}$），且满足$\sqrt{3}$cos²$\frac{α}{2}$+$\sqrt{2}$sin²$\frac{β}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，sin（2017π-α）=$\sqrt{2}$cos（$\frac{5}{2}$π-β），则α+β=$\frac{5}{12}$π．

Answer 1

分析 由二倍角公式的变形、诱导公式化简已知的式子，利用平方关系、α和β的范围、特殊角的三角函数值求出α和β的值，可得α+β的值．

解答 解：∵$\sqrt{3}$cos²$\frac{α}{2}$+$\sqrt{2}$sin²$\frac{β}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$（1+cosα）+$\frac{\sqrt{2}}{2}$（1-cosβ）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
则$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosα-$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosβ=0，即$\sqrt{3}$cosα=$\sqrt{2}$cosβ，①
∵sin（2017π-α）=$\sqrt{2}$cos（$\frac{5}{2}$π-β），
∴sin（π-α）=$\sqrt{2}$cos（$\frac{1}{2}$π-β），
则sinα=$\sqrt{2}$sinβ，②
①²+②²得，3cos²α+sin²α=2，
则$co{s}^{2}α=\frac{1}{2}$，
由α∈（0，$\frac{π}{2}$）得cosα=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，则α=$\frac{π}{4}$，
代入②可得，sinβ=$\frac{1}{2}$，
由β∈（0，$\frac{π}{2}$）得β=$\frac{π}{6}$，
∴α+β=$\frac{π}{4}$+$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{12}$，
故答案为：$\frac{5π}{12}$．

点评 本题考查二倍角公式的变形、诱导公式，三角函数值的符号，以及平方关系的应用，考查化简、变形能力．