Question

△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，向量

p

=（1，-

3

），

q

=（cosB，sinB），且

p

∥

q

且bcosC+ccosB=2asinA，则∠C=（　　）

A．30°

B．60°

C．120°

D．150°

Answer 1

分析：由两向量的坐标及两向量平行满足的条件列出关系式，利用同角三角形函数间的基本关系求出tanB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值求出B的度数，再利用正弦定理化简已知的等式，利用两角和与差的正弦函数公式化简后根据sinA的值不为0，求出sinA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值求出A的度数，即可求出∠C的度数．

解答：解：∵向量

p

=（1，-

3

），

q

=（cosB，sinB），且

p

∥

q

，
∴sinB=-

3

cosB，即tanB=-

3

，
∵∠B为三角形的内角，∴∠B=120°，
把bcosC+ccosB=2asinA利用正弦定理化简得：sinBcosC+sinCcosB=2sin²A，即sin（B+C）=sinA=2sin²A，
∵sin∠A≠0，∴sinA=

1

2

，
又∠A为三角形的内角，∴∠A=30°，
则∠C=30°．
故选A

点评：此题考查了正弦定理，平面向量的数量积运算，两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．