Question

（1）求证：

7

-

6

＜

5

-2；
（2）已知函数f（x）=e^x+

x-2

x+1

，用反证法证明方程f（x）=0没有负数根．

Answer 1

分析：（1）采用分析法来证，要证

7

-

6

＜

5

-2，只需两边平方，整理后得到一恒成立的不等式即可．
（2）对于否定性命题的证明，可用反证法，先假设方程f（x）=0有负数根，经过层层推理，最后推出一个矛盾的结论．

解答：证明：（1）要证

7

-

6

＜

5

-2    
只需证(

7

-

6

)2＜(

5

-2)2
只需证 13-2

42

＜9-4

5

  即证2+2

5

＜

42

只需证24+8

5

＜42   
只需证 4

5

＜9 即证80＜81
上式显然成立，命题得证．
（2）设存在x₀＜0（x₀≠-1），使f（x₀）=0，则e x0=-

x0-2

x0+1

由于0＜e x0＜1得0＜-

x0-2

x0+1

＜1，解得

1

2

＜x₀＜2，
与已知x₀＜0矛盾，因此方程f（x）=0没有负数根．

点评：（1）本题主要考查不等式的证明，证明用到了分析法，分析法是从要证明的结论出发，一步步向前推，得到一个恒成立的不等式，或明显成立的结论即可．
（2）本题考查了函数的零点问题与方程的根的问题．方程的根，就是指使方程成立的未知数的值．对于结论是否定形式的命题，往往反证法证明．