Question

已知集合M是满足下面性质的函数f（x）的全体：在定义域内，方程f（x+1）=f（x）+f（1）有实数解．
（1）函数是否属于集合M？说明理由；
（2）设函数，求t的取值范围．

Answer 1

解：（1）在定义域内，
∵，f（x+1）=f（x）+f（1）
∴，
∵方程x²+x+1=0无实数解，
∴∉M．（6分）
（2）∵函数，
∴lg=lg+lg，
∴（t-2）x²+2tx+2（t-1）=0有实数解，
t=2时，；
t≠2时，由△=4t²-4（t-2）×2（t-1）≥0，
得．
∴．（12分）
分析：（1）在定义域内，由，f（x+1）=f（x）+f（1），知，由此能推导出∉M．
（2）由函数，知lg=lg+lg，所以（t-2）x²+2tx+2（t-1）=0有实数解，由此能求出t的范围．
点评：本题考查函数的性质和应用，是中档题．解题时要认真审题，仔细解答，注意对数的性质的灵活运用．