Question

（坐标系与参数方程选做题）
（1）在极坐标系中，设圆ρ=4上的点到直线ρ(cosθ+

3

sinθ)=6的距离为d，求d的最大值；
（2）θ取一切实数时，连接A（4sinθ，6cosθ）和B（-4cosθ，6sinθ）两点的线段的中点为M，求点M的轨迹．

Answer 1

分析：（1）欲求d的最大值，即求出圆上一点何时到直线的距离最大，先将圆p=4和直线p（cosθ+

3

sinθ）=6的极坐标方程化成直角坐标方程，再结合直角坐标系下的点到直线的距离公式求解即得．
（2）先利用中点坐标公式得点A，B与点M坐标之间的关系，得出其坐标适合的参数方程，最终消去参数即可得到点M轨迹的普通方程．

解答：解：（1）将极坐标方程p=4转化为普通方程：x²+y²=16，
p（cosθ+

3

sinθ）=6可化为x+

3

y=6，
在x²+y²=16上任取一点A（4cosa，4sina），则点A到直线的距离为
d=

|4cosa+4 3 sina-6|

2

=

|8sin(a+30°)-6|

2

，它的最大值为7．
∴d的最大值为7．
（2）∵点M（x，y）是线段AB的中点，
∴x=

4sinθ-4cosθ

2

，y=

6cosθ+6sinθ

2

，
即 x=2sinθ-2cosθ，y=3cosθ+3sinθ
消去参数θ得

x2

8

+

y2

18

=1，
∴轨迹为焦点在y轴上的椭圆

x2

8

+

y2

18

=1．

点评：本题考查轨迹方程、点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．