Question

已知：sin230°+sin290°+sin2150°=

3

2

； sin25°+sin265°+sin2125°=

3

2

通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题：

sin²（α-60°）+sin²α+sin²（α+60°）

=

3

2

．

Answer 1

分析：分析已知条件中：sin²30°+sin²90°+sin²150°=

3

2

，sin²5°+sin²65°+sin²125°=

3

2

．我们可以发现等式左边参加累加的三个均为正弦的平方，且三个角组成一个以60°为公差的等差数列，右边是常数，由此不难得到结论．

解答：解：由已知中sin²30°+sin²90°+sin²150°=

3

2

，
sin²5°+sin²65°+sin²125°=

3

2

．
归纳推理的一般性的命题为：
sin²（α-60°）+sin²α+sin²（α+60°）=

3

2

．
证明如下：
左边=

1-cos(2α-120°)

2

+

1-cos2α

2

+

1-cos(2α+120°)

2

=

3

2

-

1

2

[cos（2α-120°）+cos2α+cos（2α+120°）]
=

3

2

=右边．
∴结论正确．
故答案为：sin²（α-60°）+sin²α+sin²（α+60°）．

点评：本题主要考查了归纳推理，归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想），（3）论证，属于基础题．