Question

已知矩阵A=

7 -9 6 -8

，列向量X=

x y

，Y=

25 22

（1）用逆矩阵方法解方程（组） AX=Y；
（2）用特征向量与特征值求A11×

-61 -41

的值．

Answer 1

分析：（1）先根据系数行列式△，得到矩阵A可逆．写出其逆矩阵，再由

7 -9 6 -8

x y

=

25 22

，即可解得原方程组的解；
（2）依据特征矩阵为

7-λ -9 6 -8-λ

，写出特征多项式，求得特征值，再求得对应的特征向量，设

-61 -41

=m

3 2

+n

1 1

，解此方程组得m=-20，n=-1最后即可求得求A11×

-61 -41

的值．

解答：解：（1）系数行列式△=|A|=-56-（-54）=-2，矩阵A可逆．
逆矩阵为A-1=-

1

2

-8 9 -6 7

=

4 - 9 2 3 - 7 2

…（3分）
由

7 -9 6 -8

x y

=

25 22

，得

x y

=

4 - 9 2 3 - 7 2

25 22

=

1 -2

…（5分）
∴原方程组的解是

x=1 y=-2

…（6分）
（2）特征矩阵为

7-λ -9 6 -8-λ

，特征多项式为（7-λ）（-8-λ）-54，即λ²+λ-2…（8分）
解方程λ²+λ-2=0，求得特征值λ₁=1，λ₂=-2                    …（9分）
当λ=1时，对应的特征向量为X₁=

3 2

当λ=-2时，对应的特征向量为X₂=

1 1

，…（10分）
设

-61 -41

=m

3 2

+n

1 1

，解此方程组得m=-20，n=-1    …（11分）
∴A11×

-61 -41

=（-20）×1¹¹×

3 2

+（-1）×（-2）¹¹

1 1

=

-60+2048 -40+2048

=

1988 2008

．

点评：本小题主要考查特征值与特征向量的计算、系数矩阵的逆矩阵解方程组等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．属于基础题．