Question

如图，PA垂直于⊙O所在平面ABC，AB为⊙O的直径，PA=AB=2，，C是弧AB的中点．
（1）证明：BC⊥平面PAC；
（2）证明：CF⊥BP；
（3）求四棱锥C-AOFP的体积．

Answer 1

【答案】分析：（1）由PA⊥平面ABC，得BC⊥PA，根据圆的性质得BC⊥AC，结合线面垂直的判定定理，得到BC⊥平面PAC．
（2）根据C是半圆弧AB的中点，证出等腰三角形△ABC中OC⊥AB，结合平面PAB⊥平面ABC，得到BP⊥OC．设BP的中点为E，连结AE，利用三角形中位线定理，可得OF∥AE，由等腰三角形“三线合一”证出AE⊥BP，从而得到BP⊥OF，由线面垂直判定定理得到BP⊥平面CFO，从而得到CF⊥BP．
（3）根据题意，CO是三棱锥C-BFO的高且CO=1，算出△BOF的面积再结合锥体体积公式，得到，同样的方法算出三棱锥P-ABC的体积，从而得到四棱锥C-AOFP的体积．
解答：解：（1）∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴BC⊥PA．（1分）
∵∠ACB是直径所对的圆周角，
∴∠ACB=90°，即BC⊥AC．（2分）
又∵PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC．（3分）
（2）∵PA⊥平面ABC，OC?平面ABC，
∴OC⊥PA．（4分）
∵C是半圆弧AB的中点，∴△ABC是等腰三角形，AC=BC，
又∵O是AB的中点，∴OC⊥AB．（5分）
∵PA∩AB=A，PA、AB?平面PAB，
∴OC⊥平面PAB，
结合PB?平面PAB，可得BP⊥OC．（6分）
设BP的中点为E，连结AE，
则OF是△AEB的中位线，可得OF∥AE，
∵PA=AB，E为BP中点，∴AE⊥BP，可得BP⊥OF．（7分）
∵OC∩OF=O，OC、OF?平面CFO，∴BP⊥平面CFO．
又∵CF?平面CFO，∴CF⊥BP．（8分）
（3）由（2）知OC⊥平面PAB，
∴CO是三棱锥C-BFO的高，且CO=1．（9分）
又∵，
（10分）
∴（11分）
又∵三棱锥P-ABC的体积（12分）
∴四棱锥C-AOFP的体积（13分）
点评：本题给出底面为直角三角形且一条侧棱过与底面垂直，求证线面垂直并求锥体的体积．着重考查了空间线面垂直的判定与性质、等腰三角形与圆的性质和锥体体积公式等知识，属于中档题．