Question

如图，双曲线

x2

3

-y2=1与抛物线x²=3（y+m）相交于A（x₁，y₁），B（-x₁，y₁），C（-x₂，y₂）D（x₂，y₂），（x₁＞0，x₂＞0），直线AC、BD的交点为P（0，p）．
（Ⅰ）试用m表示x₁x₂；
（Ⅱ）当m变化时，求p的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依题意，A、B、C、D四点坐标是下面方程组的解：

x2 3 -y2=1 x2=3(y+m)

，消掉x可得y的二次方程，此时有△＞0，而x可用y表示，从而用韦达定理可表示出x₁x₂；
（Ⅱ）由向量

PA

=（x₁，y₁-p）与

PC

=（-x₂，y₂-p）共线，得x₁（y₂-p）+x₂（y₁-p）=0，从而可用x₁，x₂表示出p，由（Ⅰ）的结论可把p用m表示出来，根据m的范围可得p的范围；

解答：解：（Ⅰ）依题意，A、B、C、D四点坐标是下面方程组的解：

x2 3 -y2=1 x2=3(y+m)

消去x，得y²-y+1-m=0，
由△=1-4（1-m）＞0，得m＞

3

4

，且y₁+y₂=1，y₁y₂=1-m．
x₁x₂=

3(y1+m)

•

3(y2+m)

=3

y1y2+m(y1+y2)+m2

=3

1+m2

．    
（Ⅱ）由向量

PA

=（x₁，y₁-p）与

PC

=（-x₂，y₂-p）共线，
得x₁（y₂-p）+x₂（y₁-p）=0，
∴p=

x1y2+x2y1

x1+x2

=

x1( x22 3 -m)+x2( x12 3 -m)

x1+x2

=

x1x2

3

-m
=

1+m2

-m=

1

1+m2 +m

，
∵m＞

3

4

，∴0＜p＜

1

2

，
故p的取值范围是(0，

1

2

)．

点评：涉及曲线的位置关系问题，往往通过联立方程组，消元后，应用韦达定理，简化运算过程．本题（II）通过应用平面向量共线的条件，建立了p，m的关系，利用函数的观点，确定得到p的范围．