Question

（山东卷理21）已知函数其中n∈N*,a为常数.

（Ⅰ）当n=2时，求函数f(x)的极值；

（Ⅱ）当a=1时，证明：对任意的正整数n,当x≥2时，有f(x)≤x-1.

Answer 1

【标准答案】

（I）的定义域为，当时

1）当时，由得

当时，单调递减；

当时，单调递增。

2）当时恒成立，无极值。

纵上可知时，

当时在处取得极小值为

当时无极值。

（II）当时，

当时，对任意恒有，故只需证。

令，，

故在上单调递增，即在上恒成立，而

恒成立，

因此，当时，恒有

【试题分析】：第一问对讨论时要注意一些显而易见的结果，当时恒成立，无极值。第二问需要对构造的新函数进行“常规处理”，即先证单调性，然后求最值 ，最后作出判断。

【高考考点】: 导数及其应用、构造函数证明不等式

【易错提醒】: 没有注意该函数定义域对问题的影响，分类讨论无目标，判断的正负漏掉符号。

【备考提示】: 函数类问题的解题方法要内悟、归纳、整理，使之成为一个系统，在具体运用时自如流畅，既要具有一定的思维定向，也要谨防盲目套用。此类问题对转化能力要求很高，不能有效转化是解题难以突破的主要原因，要善于构造函数证明不等式，从而体现导数的工具性