Question

已知a≥

1

2

，f（x）=-a²x²+ax+c．
（1）如果对任意x∈[0，1]，总有f（x）≤1成立，证明c≤

3

4

；
（2）已知关于x的二次方程f（x）=0有两个不等实根x₁，x₂，且x₁≥0，x₂≥0，求实数c的取值范围．

Answer 1

分析：（1）将原二次函数配方得f（x）=-a²（x-

1

2a

）²+c+

1

4

，利用二次函数在闭区间上的最值求出它在（0，1]最大值，再由题意得[f（x）]_max=c+

1

4

≤1，从而证得：c≤

3

4

．
（2）根据抛物线开口向下，f（x）=0的两根在[0，+∞）内，得出关于a，c的不等关系，解之即可得出实数c的取值范围．

解答：解：（1）f（x）=-a²（x-

1

2a

）²+c+

1

4

，
∵a≥

1

2

，∴

1

2a

∈（0，1]，
∴x∈（0，1]时，[f（x）]_max=c+

1

4

，-----------------------（2分）
∵f（x）≤1，则[f（x）]_max=c+

1

4

≤1，即c≤

3

4

，
∴对任意x∈[0，1]，总有f（x）≤1成立时，可得c≤

3

4

．--------------------------（5分）
（2）∵a≥

1

2

，∴

1

2a

＞0
又抛物线开口向下，f（x）=0的两根在[0，+∞）内，
⇒

△＞0 1 2a ≥0 f(0)≤0

⇒

c＞- 1 4 a＞0 f(0)≤0

⇒

c＞- 1 4 c≤0

⇒-

1

4

＜c≤0
所求实数c的取值范围为-

1

4

＜c≤0．---------------------（12分）

点评：本小题主要考查二次函数在闭区间上的最值、二次函数的性质、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．