Question

已知三棱锥D-ABC的顶点都在球O的球面上，AB=4，BC=3，∠ABC=90°，AD=12，且DA⊥平面ABC，则球O的表面积等于

169π

．

Answer 1

分析：画出图形，把三棱锥扩展为长方体，三棱锥的外接球就是长方体的外接球，长方体的体对角线就是球的直径，由此能求出球O的表面积．

解答：解：由题意画出图形如图，因为三棱锥D-ABC的顶点都在球O的球面上，
AB=4，BC=3，∠ABC=90°，AD=12，且DA⊥平面ABC，
所以三棱锥扩展为长方体，长方体的对角线的长为：DC，
AD⊥AC，AC=5，
∴DC=13，
∴球的半径为

13

2

．
∴球O的表面积S=4π×（

13

2

）²=169π．
故答案为：169π．

点评：本题考查直线与平面垂直的性质，球的内接几何体与球的关系，考查空间想象能力，计算能力．