Question

1．已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c，x∈[-2，2]表示过原点的曲线，且在x=±1处的切线的倾斜角均为$\frac{3}{4}π$，有以下命题：
①f（x）的解析式为f（x）=x³-4x，x∈[-2，2]．
②f（x）的极值点有且只有一个．
③f（x）的最大值与最小值之和等于零．
其中正确命题的序号为①③．

Answer 1

分析 求出函数f（x）的导数，得到关于a，b，c的方程组，解出a，b，c的值，从而求出函数f（x）的单调区间，求出函数f（x）的最小值和最大值即可得到答案．

解答 解：f′（x）=3x²+2ax+b，
由题意得f（0）=0，f′（-1）=f′（1）=tan $\frac{3π}{4}$=-1．
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=0}\\{3-2a+b=-1}\\{3+2a+b=-1}\end{array}\right.$，∴a=0，b=-4，c=0．
∴f（x）=x³-4x，x∈．故①正确．
由f′（x）=3x²-4=0得x₁=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，x₂=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
根据x₁，x₂分析f′（x）的符号、f（x）的单调性和极值点．

x	-2	（-2，-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）	-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$	（-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）	$\frac{2\sqrt{3}}{3}$	（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，2）	2
f′（x）		+	0	-	0	+
f（x）	0	↗	$\frac{16\sqrt{3}}{9}$	↘	$\frac{-16\sqrt{3}}{9}$	↗	0

∴x=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$是极大值点也是最大值点．x=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$是极小值点也是最小值点．
f（x）_min+f（x）_max=0．
∴②错，③正确；
故答案为：①③．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及切线问题，是一道中档题．