Question

（2012•蓝山县模拟）某企业的产品以往专销欧美市场，在全球金融风暴的影响下，欧美市场的销量受到严重影响，该企业在政府的大力扶助下积极开拓国内市场，并基本形成了市场规模；自2009年9月以来的第n个月（2009年9月为第一个月）产品的内销量、出口量和销售总量（销售总量=内销量与出口量的和）分别为b_n、c_n和a_n（单位：万件），依据销售统计数据发现形成如下营销趋势：b_n+1=aa_n，
c_n+1=a_n+b a_n² （其中a、b为常数），已知a₁=1万件，a₂=1.5万件，a₃=1.875万件．
（1）求a，b的值，并写出a_n+1与a_n满足的关系式；
（2）试用你所学的数学知识论证销售总量a_n逐月递增且控制在2万件内；
（3）试求从2009年9月份以来的第n个月的销售总量a_n关于n的表达式．

Answer 1

分析：（1）依题意：a_n+1=b_n+1+c_n+1=aa_n+a_n+ba_n²，将n取1，2，构建方程组，即可求得a，b的值，从而可得a_n+1与a_n满足的关系式；
（2）证法（Ⅰ）先证明a_n+1=2a_n-

1

2

a_n²=-

1

2

（a_n-2）²+2＜2，于是a_n＜2，再用作差法证明a_n+1＞a_n，从而可得结论；
方法（Ⅱ）用数学归纳法证明，关键是假设n=k时，a_k＜a_k+1＜2成立，利用函数f （x）=-

1

2

x²+2x=-

1

2

（x-2）²+2在[0，2]上为增函数，可证得a_k+1＜a_k+2＜2成立；
（3）由a_n+1=2a_n-

1

2

a_n²，可得{lg （2-a_n+1）-lg2}为等比数列，公比为2，首项为-lg 2，从而可得结论．

解答：解：（1）依题意：a_n+1=b_n+1+c_n+1=aa_n+a_n+ba_n²，
∴a₂=aa₁+a₁+ba₁²，∴a+1+b=

3

2

…①
又a₃=aa₂+a₂+ba₂²，∴

3

2

a+

3

2

+b（

3

2

）²=

15

8

…②
解①②得a=1，b=-

1

2

从而a_n+1=2a_n-

1

2

a_n²（n∈N^*）…（4分）
（2）证法（Ⅰ）由于a_n+1=2a_n-

1

2

a_n²=-

1

2

（a_n-2）²+2≤2．
但a_n+1≠2，否则可推得a ₁=a ₂=2与a ₁=1，a₂=1.5矛盾．故a_n+1＜2  于是a_n＜2
又a_n+1-a_n=-

1

2

a_n²+2a_n-a_n=-

1

2

a_n （a_n-2）＞0，
所以a_n+1＞a_n 从而a_n＜a_n+1＜2             （9分）
证法（Ⅱ）由数学归纳法
（i）当n=1时，a₁=1，a₂=1.5，显然a₁＜a₂＜2成立
（ii）假设n=k时，a_k＜a_k+1＜2成立．
由于函数f （x）=-

1

2

x²+2x=-

1

2

（x-2）²+2在[0，2]上为增函数，
则f （a_k）＜f （a_k+1）＜f （2）即

1

2

a_k （4-a_k）＜

1

2

a_k+1（4-a_k+1）＜

1

2

×2×（4-2）
即 a_k+1＜a_k+2＜2成立． 综上可得n∈N^*有a_n＜a_n+1＜2 （9分）
（3）由a_n+1=2a_n-

1

2

a_n²得2 （a_n+1-2）=-（a_n-2）²  
即（2-a_n+1）=

1

2

（2-a_n）²
又由（2）a_n＜a_n+1＜2，可知2-a_n+1＞0，2-a_n＞0
则lg （2-a_n+1）=2lg （2-a_n）-lg 2
∴lg （2-a_n+1）-lg2=2[lg （2-a_n）-lg2]
即{lg （2-a_n+1）-lg2}为等比数列，公比为2，首项为lg （2-a₁）-lg 2=-lg 2
故lg （2-a_n）-lg 2=（-lg 2）•2^n-1
∴a_n=2-2(

1

2

)2n-1（n∈N^*）为所求 （13分）．

点评：本题考查数列的关系式，数学归纳法的应用，数列的函数特征，函数的单调性的应用，数列通项公式的求法，考查转化思想，逻辑推理能力．