Question

函数f（x）满足，且x₁，x₂均大于e，f（x₁）+f（x₂）=1，则f（x₁x₂）的最小值为    ．

Answer 1

【答案】分析：先通过解方程得函数f（x）的解析式，由f（x₁）+f（x₂）=1，代入解析式并化简后得lnx₁lnx₂=ln（x₁•x₂）+3，利用均值定理即可求得ln（x₁•x₂）的取值范围，最后将x₁•x₂代入解析式得f（x₁x₂），利用函数单调性即可得其范围
解答：解：∵，∴lnx-lnx•f（x）-1-f（x）=0∴f（x）=
∵f（x₁）+f（x₂）=1，
∴+===1
∴lnx₁lnx₂=ln（x₁•x₂）+3
∵x₁，x₂均大于e
∴lnx₁，lnx₂均大于1
∴lnx₁lnx₂=ln（x₁•x₂）+3≤=
∴ln²（x₁•x₂）-4ln（x₁•x₂）-12≥0
∴ln（x₁•x₂）≤-2（舍去）或ln（x₁•x₂）≥6
∴ln（x₁•x₂）≥6
∵f（x₁x₂）==1-≥1-= 
（当且仅当即x₁=x₂=e³时取等号）
故答案为
点评：本题考查了求函数解析式的方法，对数运算及对数变换技巧，利用均值定理及函数性质求最值的方法