Question

7．已知数列{a_n}中，a₁=1，S_n是它的前n项和，且S_n+1=4a_n+2（n=1，2，…），b_n=a_n+1-2a_n，c_n=a_n+1-a_n．
（1）求证：数列{b_n}是等比数列；
（2）求a_n；
（3）求证：{c_n}是递增数列．

Answer 1

分析 （1）由S_n+1=4a_n+2可得：S_n=4a_n-1+2两式作差得：构造a_n+1-2a_n从而得证；
（2）由（1）知：a_n+1-2a_n=3×2^n-1两边同除以2ⁿ⁺¹构造$\frac{a_n}{2^n}$，即可得证．
（3）求出{c_n}的通项公式，证明$\frac{{c}_{n+1}}{{c}_{n}}$＞1，即可得到结论．

解答 解：（1）当n≥2时，由S_n+1=4a_n+2可得：S_n=4a_n-1+2
两式作差得：a_n+1=4a_n-4a_n-1
可转化为：a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1）
又a₃-2a₂=2（a₂-2a₁）
∴b_n=a_n+1-2a_n（n∈N^*），{b_n}是等比数列，则b_n=3×2^n-1
（2）由（1）知：a_n+1-2a_n=3×2^n-1
两边同除以2ⁿ⁺¹得：
$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}-\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}=\frac{3}{4}$
∴{$\frac{a_n}{2^n}$}是等差数列，则$\frac{a_n}{2^n}$=$\frac{1}{2}+\frac{3}{4}（n-1）$=$\frac{3n-1}{4}$，则a_n=$\frac{3n-1}{4}$•2ⁿ．
（3）c_n=a_n+1-a_n=$\frac{3n+2}{4}$•2ⁿ⁺¹-$\frac{3n-1}{4}$•2ⁿ=$\frac{3n+5}{4}$•2ⁿ，
则$\frac{{c}_{n+1}}{{c}_{n}}$=$\frac{\frac{3n+8}{4}•{2}^{n+1}}{\frac{3n+5}{4}•{2}^{n}}$=$\frac{6n+16}{3n+5}$
∵n≥1，
∴$\frac{{c}_{n+1}}{{c}_{n}}$=$\frac{6n+16}{3n+5}$＞1，
即{c_n}是递增数列．

点评 本题主要考查递推数列的应用，以及数列通项公式的求解，根据条件构造等比数列是解决本题的关键．