Question

设a为实数，函数f（x）=2x²+（x-a）|x-a|．
（1）当a=1时，判断函数f（x）在（1，+∞）的单调性并用定义证明；
（2）求f（x）的最小值．

Answer 1

分析：（1）当a=1，x＞1时，f（x）=3x²-2x+1，用函数的单调性的定义证明它是增函数．
（2）当x≥a时，根据f（x）的解析式，分a≥0和 a＜0两种情况，求出f（x）的最小值．当x≤a时，根据f（x）的解析式，分a≥0和 a＜0两种情况，求出f（x）的最小值，
综合可得结论．

解答：解：（1）当a=1，x＞1时，f（x）=2x²+（x-1）|x-1|=2x²+（x-1）² =3x²-2x+1，…（1分）
则函数f（x）在（1，+∞）上单调递增．
证明：设1＜x₁＜x₂，由于f（x₁）-f（x₂）=3x12-2x1+1-(3x22-2x2+1)=（x₁-x₂）[3（x₁+x₂）-2]，…（4分）
∵x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，∵1＜x₁＜x₂，∴x₁+x₂＞2，从而得3（x₁+x₂）-2＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，故函数f（x）在（1，+∞）上单调递增．…（6分）
（2）∵当x≥a时，f（x）=3x²-2ax+a²，…（7分）
故 f(x)min=

f(a)，a≥0 f( a 3 )，a＜0

=

2a2，a≥0 2a2 3 ，a＜0

．…（9分）
当x≤a时，f（x）=x²+2ax-a²，…（10分）
f(x)min=

f(-a)，a≥0 f(a)，a＜0

=

-2a2，a≥0 2a2，a＜0

．…（12分）
综上，f(x)min=

-2a2，a≥0 2a2 3 ，a＜0

．…（14分）

点评：本题主要考查带有绝对值的函数，函数的单调性的定义和证明，求函数的最小值，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．