Question

如图,正八面体的棱长为a,求:

(1)PQ的长;

(2)二面角PBCQ的余弦值;

(3)两个相对面之间的距离.

Answer 1

思路分析:(1)将求PQ的长,转化为求正四棱锥P—ABCD的高;(2)注意正八面体面的特征,取棱BC的中点,则立即得到二面角PBCQ的平面角;(3)将面面距离转化为点面距离,用等体积法求之.

解：(1)连结PQ,交ABCD于O,则O为其中心,取BC的中点E,连结PE.

在Rt△POE中,

    ∵OE=AB=a,PE=a,∴PO===a.

    于是PQ=2PO=a.

    (2)连结QE.因PE⊥BC,QE⊥BC,所以∠PEQ就是二面角P-BC-Q的平面角.

    在△PEQ中,由余弦定理得

    cos∠PEQ=

    ===-,

    即二面角PBCQ的余弦值为-.

    (3)显然,平面PBC∥平面QAD,因此它们之间的距离就是点A到平面PBC的距离,设其为h,则V_A—PCB=V_P—ABC,即·S_△PBC·h=·S_△ABC·PO.

    ∴ a²·h=a²· a².∴h=a,

    即两个相对面之间的距离为a.