Question

已知直线的参数方程为

x=-1+2t y=3-4t

（t为参数），直线与曲线（y-3）²-x²=1交于A、B两点．
（I）求线段AB的长；
（II）求点P（-1，3）到线段AB中点Q的距离．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把直线的参数方程的对应坐标代入曲线方程并化简得6t²+2t-1=0，设A、B对应的参数分别为t₁、t₂，则t1+t2=-

1

3

，t1t2=-

1

6

，从而可求线段AB的长；
（Ⅱ）根据中点坐标的性质可得Q对应的参数为

t1+t2

2

=-

1

6

，从而可求点P（-1，3）到线段AB中点Q的距离．

解答：解：（Ⅰ）把直线的参数方程的对应坐标代入曲线方程并化简得6t²+2t-1=0…（2分）
设A、B对应的参数分别为t₁、t₂，
则t1+t2=-

1

3

，t1t2=-

1

6

…（4分）
∴线段AB的长为|AB|=

22+(-4)2

|t1-t2|=2

5

(t1+t2)2-4t1t2

=

2 35

3

…（6分）
（Ⅱ）根据中点坐标的性质可得Q对应的参数为

t1+t2

2

=-

1

6

，…（8分）
∴点P（-1，3）到线段AB中点Q的距离为|PQ|=

22+(-4)2

|-

1

6

|=

5

3

…（12分）

点评：本题以直线的参数方程为载体，考查直线的参数方程，考查参数的意义，解题的关键是正确理解参数方程中参数的意义