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    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    精英家教网如图所示，已知点G是△ABC的重心，过G作直线与AB、AC两边分别交于M、N两点，且
    AM
    =x
    AB
    ，
    AN
    =y
    AC
    ，则
    xy
    x+y
    的值为
     
    ．
    分析：由G为三角形的重心得到
    AG
    =
    1
    3
    (
    AB
    +
    AB
    )    ，再结合
    AM
    =x
    AB
    ，
    AN
    =y
    AC
    ，根据M，G，N三点共线，易得到x，y的关系式，即可得到结论．
    解答：解：根据题意G为三角形的重心，
    ∴
    AG
    =
    1
    3
    (
    AB
    +
    AB
    )    ，
    MG
    =
    AG
    -
    AM
    =
    1
    3
    (
    AB
    +
    AC
    )-x
    AB
    =(
    1
    3
    -x)
    AB
    +
    1
    3
    AC
    ，
    GN
    =
    AN
    -
    AG
    =y
    AC
    -
    AG
    =y
    AC
    -
    1
    3
    (
    AB
    +
    AC
    )=(y-
    1
    3
    )
    AC
    -
    1
    3
    AB
    ，
    由于
    MG
    与
    GN
    共线，根据共线向量基本定理知，存在实数λ，使得
    MG
    =λ
    GN
    ，
    即(
    1
    3
    -x)
    AB
    +
    1
    3
    AC
    =λ[(y-
    1
    3
    )
    AC
    -
    1
    3
    AB
    ]    ，
    ∴
    1
    3
    -x=-
    1
    3
    λ
    1
    3
    =λ(y-
    1
    3
    )
    ，
    消去λ得x+y-3xy=0，
    ∴x+y=3xy，
    即
    xy
    x+y
    =
    1
    3
    ．
    故选B．
    点评：本题主要考查了三角形重心的性质，以及向量的基本定理和向量在几何中的应用，属于中档题．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图所示，已知圆M：（x+1）2+y2=8及定点N（1，0），点P是圆M上一动点，点Q为PN的中点，PM上一点G满足
    GQ
    •
    NP
    =0
    （1）求点G的轨迹C的方程；
    （2）已知直线l：y=kx+m与曲线C交于A、B两点，E（0，1），是否存在直线l，使得点N恰为△ABE的垂心？若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    精英家教网如图所示，已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，G在BB1上，且AE=FC1=B1G=1，H是B1C1的中点．
    （1）求证：E、B、F、D1四点共面
    （2）求证：平面A1GH∥平面BED1F．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    精英家教网如图所示，已知点G是△ABO的重心．
    （1）求
    GA
    +
    GB
    +
    GO
    ；
    （2）若PQ过△ABO的重心G，且
    OA
    =
    a
    ，
    OB
    =
    b
    ，
    OP
    =m
    a
    ，
    OQ
    =n
    b
    ，求证：
    1
    m
    +
    1
    n
    =3．

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    科目：高中数学 来源：2013-2014学年上海市徐汇区高三上学期期末考试（一模）理科数学试卷（解析版） 题型：填空题

    如图所示，已知点G是△ABC的重心，过G作直线与AB、AC两边分别交于M、N两点，且，则的值为          .

     

     

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