Question

已知{a_k}数列是等差数列．
（1）若m+n=p+q，求证a_m+a_n=a_p+a_q．
（2）若a_k=2k-1，求证a₁²+a₂²+…+a_k²=

1

3

k（4k²-1）．
（3）若对于给定的正整数s，有a₁²+a_s+1²=1，求S=a_s+1+…+a_2s+a_2s+1的最大值．

Answer 1

分析：（1）由等差数列的通项公式得到所要证的等式．
（2）将和分组，利用等差数列的前n项和公式及公式12+22+…+k2=

k(k+1)(2k+1)

6

得到要证的等式．
（3）由等差数列的前n项和公式可得要求S的最大值，设a_s+1+a_2s+1=A，根据等差数列的性质推出A与a₁、a_s+1的关系，代入已知条件，消去a_s+1，得到a₁、A的方程，利用方程有解，即可求出A的范围，故本题可解．

解答：证明：（1）因为{a_k}是等差数列，设其首项为a₁，公差为d，
所以a_m+a_n=a₁+（m-1）d+a₁+（n-1）d=2a₁+（m+n-2）d．
a_p+a_q=a₁+（p-1）d+a₁+（q-1）d=2a₁+（p+q-2）d．
因为m+n=p+q，
所以2a₁+（m+n-2）d=2a₁+（p+q-2）d，
所以a_m+a_n=a_p+a_q．
（2）因为a_k=2k-1，
所以a_k²=4k²-4k+1，
所以a₁²+a₂²+…+a_k²
=4（1²+2²+…+k²）+4（1+2+3+…+k）+k
=4

k(k+1)(2k+1)

6

+ 4

(1+k)k

2

+k
=

1

3

k（4k²-1）．
即a₁²+a₂²+…+a_k²=

1

3

k（4k²-1）．
（3）解：S=as+1+as+2+…+a2s+1=

(s+1)(as+1+a2s+1)

2

设a_s+1+a_2s+1=A，
则A=a_s+1+a_2s+1+a₁-a₁=a_s+1+2a_s+1-a₁=3a_s+1-a₁．
则as+1=

A+a1

3

，由

a

2 1

+(

A+a1

3

)2=1，可得：10a₁²+2Aa₁+A²-9=0，
由△=4A²-40（A²-9）≥0，可得：-

10

≤A≤

10

．（12分）
所以S=

(s+1)(as+1+a2s+1)

2

=

(s+1)A

2

≤

10 (s+1)

2

．（14分）
所以S=a_s+1+…+a_2s+a_2s+1的最大值为

m+1

2

10

．

点评：本题考查了等差数列的通项公式、前n项和公式及解不等式的有关知识，考查运算能力和推理能力．属于一道难题．