Question

20．已知函数$f（x）=\frac{x+2a-1}{{{x^2}+1}}$为奇函数，及lg2=0.3010，lg2.015=0.3043．
（1）求实数a的值；
（2）证明函数f（x）在区间[1，+∞）上是减函数；
（3）求最小的正整数n，使得f（1+0.01×2ⁿ）+f（-2016）＜f（0）．

Answer 1

分析 （1）根据函数奇偶性的性质，利用f（0）=0，即可求实数a的值；
（2）利用函数单调性的定义即可证明函数f（x）在区间[1，+∞）上是减函数；
（3）根据函数奇偶性和单调性的关系，将不等式进行转化求解即可．

解答 解：（1）由f（0）=0，求得$a=\frac{1}{2}$…（3分）
（2）由（1）可知$f（x）=\frac{x}{{{x^2}+1}}$，设x₁，x₂∈[1，+∞），设x₁＜x₂，则…（4分）$f（{x_1}）-f（{x_2}）=\frac{x_1}{x_1^2+1}-\frac{x_2}{x_2^2+1}=\frac{{{x_1}（x_2^2+1）-{x_2}（x_1^2+1）}}{（x_1^2+1）（x_2^2+1）}=\frac{{（{x_2}-{x_1}）（{x_1}{x_2}-1）}}{（x_1^2+1）（x_2^2+1）}$，
∵1≤x₁＜x₂，∴f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在区间[1，+∞）上是减函数； …（7分）
（3）∵f（x）为奇函数，∴f（0）=0，f（-2016）=-f（2016），…（8分）
所以原式可化为f（1+0.01×2ⁿ）＜f（2016），
由（2）可知函数f（x）在[1，+∞）上单调递减，且1+0.01×2ⁿ＞1，
∴1+0.01×2ⁿ＞2016，即2ⁿ＞201500，…（10分）
两边取对数，得nlg2＞lg2.015+5，即0.3010n＞5.3043，
解得n＞17.62，故最小的正整数n的值为18．…（12分）

点评 本题主要考查函数奇偶性的应用以及函数单调性的证明，利用定义法是解决本题的关键．