Question

20．设函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}2{x^2}-x，x≤0\\-{x^2}+2x，x＞0\end{array}\right.$，且关于x的方程f（x）=m，（m∈R）恰有3个不同的实数根x₁，x₂，x₃，则x₁x₂x₃的取值范围是（　　）

• A． （-1，0）
• B． $（-\frac{1}{2}，+∞）$
• C． （0，1）
• D． $（-\frac{1}{2}，0）$

Answer 1

分析 画出函数f（x）的图象，不妨设x₁＜x₂＜x₃，则-$\frac{1}{2}$＜x₁＜0＜x₂＜1＜x₃＜2，由x₂+x₃=2，可得0＜x₂x₃＜1，由不等式的性质，即可得到所求范围．

解答 解：画出函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}2{x^2}-x，x≤0\\-{x^2}+2x，x＞0\end{array}\right.$的图象，
依题意得关于x的方程f（x）=m，（m∈R）恰有三个互不相同的
实数根x₁，x₂，x₃，不妨设x₁＜x₂＜x₃，则
-$\frac{1}{2}$＜x₁＜0＜x₂＜1＜x₃＜2，
又x₂，x₃关于x=1对称，则x₂+x₃=2，x₂x₃=-（x₂-1）²+1，
∴0＜x₂x₃＜1，
∴-$\frac{1}{2}$＜x₁x₂x₃＜0．
故选D．

点评 本题考查函数和方程的转化思想的运用，考查二次函数的对称性，以及数形结合的思想方法，运用不等式的性质，属于中档题．