Question

在数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=3a_n-2n+1．
（Ⅰ）证明：数列{a_n-n}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅲ）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由a_n+1=3a_n-2n+1．得到：

an+1-(n+1)

an-n

=

3an-2n+1-(n+1)

an-n

=

3an-3n

an-n

=3得到数列{a_n-n}是公比为3的等比数列；
（Ⅱ）由（1）a_n-n=（2-1）•3^n-1=3^n-1，解得a_n=3^n-1+n即可；
（Ⅲ）由a_n=3n-1+n即可得到S_n=（1+5+8+…+3n-1）+（1+2+3+…+n）求出之和即可．

解答：解：（Ⅰ）因为

an+1-(n+1)

an-n

=

3an-2n+1-(n+1)

an-n

=

3an-3n

an-n

=3，
所以数列{a_n-n}是公比为3的等比数列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得a_n-n=（2-1）•3^n-1=3^n-1；
则a_n=3^n-1+n；
（Ⅲ）所以数列{a_n}的前n项和
S_n=（1+5+8+…+3n-1）+（1+2+3+…+n）=

3n+n2+n-1

2

点评：此题考查学生数列的递推式的能力，数列求和的能力，以及等比关系的确定能力．