Question

已知D为△ABC的边BC上一点，且AB：BC：CA=1：

3

：1．
（1）求角A的大小；
（2）若△ABC的面积为

3

，且∠ADC=45°，求BD的长．

Answer 1

分析：设三边之比为k，表示出三边长，
（1）利用余弦定理表示出cosA，将三边长代入求出cosA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；
（2）利用三角形的面积公式列出关系式，将已知面积与sinA的值代入求出AB的值，在三角形ABD中，利用正弦定理即可求出BD的长．

解答：解：设AB：BC：CA=1：

3

：1=k，则AB=AC=k，BC=

3

k，
（1）由余弦定理得：cosA=

AB2+CA2-BC2

2AB•CA

=

k2+k2-( 3 k)2

2k2

=-

1

2

，
∵A为三角形的内角，∴A=120°；
（2）∵AB=CA，∠A=120°，
∴∠B=∠C=30°，
∴∠BAD=15°，
∵S_△ABC=

1

2

AB•AC•sin120°=

3

，
∴AB=AC=2，
∵sin15°=sin（45°-30°）=sin45°cos30°-cos45°sin30°=

6 - 2

4

，
则由正弦定理

AB

sin(180°-45°)

=

BD

sin15°

得：BD=

2sin15

sin135°

=

3

-1．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．